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domingo, 15 de agosto de 2010

Número y sistema de numeración. Campo de los naturales y los racionales; Abordaje de otros campos: enteros e irracionales.

Enseñar Matemática implica la problematización, implica que el niño se enfrente a una situación nueva, apelando a los conocimientos que ya posee, a la capacidad de imaginar, crear caminos de solución y nuevas estrategias.
Se ha definido la Matemática como una ciencia abstracta, exacta y deductiva, cuyo objeto de estudio se centraba en el tratamiento de la cantidad. Hoy, la Didáctica Crítica, ha posicionado el conocimiento matemático como cualquier otra forma de conocimiento, considerando a la Matemática como ciencia formal, que utiliza metodologías hipotéticas deductivas y un lenguaje universal para construir las representaciones mentales y organizarlas como sistema axiomático.
El currículo de Matemática destaca tres finalidades generales para justificar su enseñanza y aprendizaje, tenemos:
El carácter formativo de la matemática, la misma contribuye al desarrollo intelectual de cada persona, desarrolla la capacidad del razonamiento lógico, simbolización, abstracción, rigor y precisión que caracterizan al pensamiento formal.
La utilidad práctica del conocimiento matemático, la matemática aparece en todas las formas de expresión humana, permite codificar información y obtener una representación del medio natural y social.
La utilización sistemática de la matemática para el resto de las disciplinas, junto con el lenguaje, proporcionan el hilo conductor de la formación intelectual de los alumnos.
Para que el carácter de la didáctica de la Matemática sea más rica y más compleja, debemos tener en cuenta, las ideas previas ya formadas en el niño, la dificultad que implica en él el cambio conceptual, su reflexión sobre el saber apropiado, qué estrategias usar, y la autocrítica docente.
En la vida cotidiana los números y las operaciones aparecen implicados frecuentemente, nos permiten codificar y transmitir información de manera concisa y fácil. Uno de los objetivos escolares es ayudar a completar esas experiencias previas de los alumnos, de modo tal que el alumno pueda conocer sus distintos usos y aplicaciones.
La noción de número es la más importante de la matemática que se enseña en la escuela primaria, que es indisociable de la noción de medida.
La serie numérica hablada “uno”, “dos”, “tres”, aumenta progresivamente cuando el niño crece. Cuando el niño es capaz de enunciarla se sitúa en dos niveles diferentes. 1) Como recitación; esto implica que no solamente recite la serie numérica, sino que al mismo tiempo haga corresponder la recitación con la exploración de un conjunto de objetos.
2) En el nivel de conteo; la recitación se acompaña de gestos manuales y movimientos de los ojos, que muestran que el niño ejerce su actividad al establecer una correspondencia, entre el conjunto de los objetos y la serie numérica hablada.
Es la primera forma de función numérica que se puede imaginar.

Los Números
Se emplean como secuencia verbal, esto es usado cuando la finalidad es aprender la serie de los números, para cronometrar el tiempo para atraer la atención de los demás, para efectuar operaciones, etc.
En el recuento, cada número se asocia con un elemento de un conjunto de objetos discretos.
El uso cardinal del número natural, se utiliza para designar el tamaño de un conjunto.
Todos los números naturales se emplean también para expresar el resultado de una medida.
El uso ordinal, es cuando un conjunto de objetos puede ser ordenado linealmente, de tal manera que podemos asociar el número 1 con el primer elemento, el número 2 al siguiente y así sucesivamente.
Usamos códigos, cuando colocamos etiquetas a los elementos de un conjunto, para clasificarlos.
El número como tecla, está asociado con un resorte diferenciado que hay que accionar físicamente para su utilización. Suele haber dos tipos de teclado numérico, uno lineal y otro en forma de matriz o rectángulo.
Correspondencia
La puesta en correspondencia, término a término entre dos conjuntos presenta dificultades hasta etapas muy avanzadas en el desarrollo de los niños, lo que impide considerar que el tamaño de un conjunto sea independiente para el niño de la configuración espacial adoptada por ese conjunto. La equivalencia cuantitativa de dos conjuntos que tiene el mismo número de elementos, no es en el niño un dato bien elaborado, sino que se construye progresivamente en función del desarrollo de la actividad.
Si los conjuntos tienen pocos elementos la comparación se puede realizar perceptualmente. No así, cuando no podemos por la cantidad de los elementos del conjunto. En este caso se puede recurrir a la correspondencia de objetos, realizándola entre los elementos de los dos conjuntos, de esta manera si no quedan elementos, estos tienen el mismo tamaño y se ha establecido entre ellos lo que se llama una equivalencia, o correspondencia uno a uno o aplicación biyectiva.
Castro da como ejemplo un conjunto de águilas y otro de jilgueros donde se puede establecer un emparejamiento o correspondencia biunívoca, de forma que a cada águila le corresponde un jilguero y a la inversa.
Como los dos conjuntos anteriores que podemos denominar A y B tienen el mismo número de elementos los podemos escribir simbólicamente:
n(A) = n(B)
Con los niños podemos trabajar el emparejamiento o asociación de objetos con elementos concretos como por ej. a cada zapato le corresponde un pie, a cada taza un plato, cada figurita le corresponde un lugar en el álbum, etc.
Si los dos conjuntos tienen el mismo tamaño, se establece una aplicación biyectiva es decir correspondencia uno a uno. Si esto ocurre los dos conjuntos tienen el mismo cardinal.
Siendo esta la propiedad que tienen en común todos los conjuntos entre los que se puede establecer una aplicación biyectiva.
Se pueden construir y además existen en el mercado una variedad importante de juegos que permiten la asociación entre un símbolo numérico, la expresión verbal del mismo y el cardinal de un conjunto.
Con las correspondencias uno a uno se establece, no solo si dos conjuntos tienen el mismo tamaño, sino también si uno tiene más o menos elementos que el otro.
El emparejamiento de elementos determina el orden de los números; 1<2, 2<3, y así sucesivamente se establece un procedimiento para ordenar los números.
Colocados en orden son: 0,1, 2, 3, 4, 5,…….
Si partimos del conjunto {a} le corresponde el cardinal 1, si agregamos otro elemento b obtenemos el conjunto {a,b} de cardinal 2 y así sucesivamente si agregamos el elemento c {a,b,c} de cardinal 3, se genera así la serie creciente. De la misma forma si se quitan elementos se puede general la serie decreciente, donde surge de manera natural el “0” como cardinal. Se llama conjunto vacío y su cardinal es 0, su tamaño es menor que 1.
La serie numérica se puede representar sobre una línea recta que se denomina “recta numérica” en la que todos los números están ordenado de menor a mayor, de izquierda a derecha, a intervalos iguales.
Estrategias para cuantificar
Cuantificar significa determinar su cardinal, es decir hallar el cardinal de un conjunto de elementos.
Percepción del número: consiste en que “de una ojeada” (caso puntos) el número aparece en nuestra mente de forma instantánea. Esta forma se llama subitización, derivado de súbito. Esta forma sirve cuando el número de unidades es pequeño o agrupado en pequeñas cantidades y están en una disposición regular.
Recuento: en el proceso de conteo, el número con el que finalizamos nos da su cardinal.
Principios que intervienen sobre el conocimiento conceptual del recuento:
Recitado de los términos de la secuencia numérica en el orden convencional.
Cada palabra de la secuencia se asocia con uno y solo uno de los elementos del conjunto.
El último término que se obtiene, al contar todos los elementos es el número de objetos del conjunto.
El cardinal del conjunto no depende del orden en que se hayan contado los elementos.
Todo conjunto de objetos se puede contar, sean estos de forma homogénea (por ej. Lápices) o heterogénea (lápices, bolígrafos).
Estimar: Hay casos que no es posible la obtención de forma exacta del cardinal de una colección, recurriéndose así a la aproximación, empleándose la técnica de la estimación. Por ej. Cantidad de asistentes a un acto público.
Calcular: si disponemos de suficiente información el cardinal de un conjunto se puede encontrar utilizando las cuatro operaciones elementales y sus propiedades.

El Cero
Desde el punto de vista histórico, fue la última cifra que se incorporó en los sistemas de numeración, para expresar la ausencia de un determinado valor de posición. Durante mucho tiempo se pensó que los números expresaban la esencia de lo existente, por lo tanto lo que “no es” no podía ser expresado. Con el desarrollo de la matemática, siglos después se aceptó que el “0” también es un número.
Este número por sus características puede producir dificultades en el aprendizaje, por su uso no tener significado en la mayoría de los contextos.
Cuando realizamos una secuencia numérica ascendente por lo general la hacemos a partir del 1, el 0 se incluirá solo si se solicita expresamente.
Cuando contamos es usual comenzar por 1.
Como número cardinal, nos indica, el cardinal del conjunto vacío, siendo dificultoso comprender que hay un conjunto sin elementos.
En el uso como medida representa la medida de un segmento nulo, cuyos extremos coinciden. Si se tiene en cuenta como punto de partida en las escalas lineales, como ocurre en la cinta métrica, en las reglas, etc.
En la escuela se aconseja se trate como un número más, aunque conviene progresivamente ir dando cuenta de sus usos y significados.

Sistema de Numeración
El modo que utilizamos habitualmente es el sistema decimal (base 10), necesitándose diez dígitos diferentes, cuyo valor en orden creciente es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Podemos decir que es un conjunto finito de signos, reglas y convenios que permiten representar la serie infinita de los números naturales.
Un sistema de numeración es un sistema de representación y la forma de realizarla es mediante un conjunto de puntos o trazos, tantos como unidades tiene el número, por ej.
//////////////////// representa el número 20
Otra forma de representarlos es agrupando los trazos en bloques de igual número de elementos ///// ///// ///// /////. Esto requiere establecer un número para realizar la agrupación, que constituirá la base del sistema de numeración a trabajar. En el ej. La base es 5. La base puede ser cualquier número mayor o igual que 2.
Además de la base 10 usada por nosotros existen otras bases como la base 60, la base 12, la base 20 y la usada por informática la base 2.
Cuando los grupos son grandes se recurre al agrupamiento múltiple, el cual consiste en formar con los grupos ya formados nuevos grupos, haciéndolo en forma reiterada siempre que los grupos formados superen en número a la base o sean igual a ella. Con ello aparece la idea de “unidades de distinto orden” y de que “n unidades de un orden forman una unidad de orden superior” en base n.
Los signos de la numeración decimal (0, 1, 2, 3,…) se utilizan además para indicar el número de cada potencia de la base que interviene en la representación del número.
Por ej. 75.328 se puede decir que 104 aparece 7 veces, 103 aparece 5 veces, 102 aparece 3 veces, 101 aparece 2 veces, y 8 unidades. Interviene aquí un “principio multiplicativo”, característico de los sistemas posicionales, que podemos expresar de la siguiente forma:

7 x 104 + 5 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 8 interviniendo además el “principio aditivo”.

A estos principios se agrega el “principio de ordenación descendente”, un ordenamiento de las potencias de derecha a izquierda. La potencia de la base a la que multiplican queda determinada por la posición que ocupan.

7 5 3 2 8
Decenas de millar Millares Centenas Decenas Unidades
104 103 102 101 100

Aparece así la idea de valor de posición según la cual las cifras representan unidades, decenas, centenas, etc. según el lugar que ocupan empezando a contar desde la izquierda.
Sistema decimal de numeración
Se basa en los siguientes supuestos:
Base diez.
Unidades de orden superior. Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.
Multiplicadores: Las cifras o dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base.
Valor de posición: las unidades de orden superior se representan por posiciones ordenadas en forma ascendente de derecha a izquierda.
Valor relativo: dependiendo de la posición que ocupa cada cifra en un número tiene un valor relativo. Se dice que es un sistema posicional.
Valor de un número: es la suma de los productos de las cifras por el valor de posición que tiene.
Materiales y recursos.
Objetos de la vida real. Materiales didácticos orientados al aprendizaje como por ej. Las regletas Cuisenaire, los bloques multibase, tabla de valor de posición, el ábaco, etc.
Las regletas Cuisenaire: es un material excelente para trabajar el número como medida. Consiste en unas barritas de un centímetro cuadrado de sección, cuya longitud varía desde uno a diez cm.
Están identificadas también por colores. Con ellas los niños pueden trabajar aspectos como: ordenación, operaciones numéricas, etc.
Bloques multibase: apropiado para desarrollar el significado de agrupamiento múltiple en un sistema de numeración. Son cuatro piezas distintas, un cubo de 1 cm de arista, que representa la unidad, una regleta que representa los agrupamientos de las unidades, formando la decena; una placa cuadrada agrupamiento de las regletas, formando la centena; y un cubo para representar los agrupamientos de las placas, formando el millar.
Tabla de valor de posición: útil para ayudar a entender la escritura posicional de los números, consiste en una franja horizontal dividida en casillas que representan de derecha a izquierda los distintos valores de posición en forma creciente: unidades, decenas, centenas, etc.
Ábaco: nos permite realizar operaciones de suma y resta, equivalencias, representaciones varias.
El número como objeto de aprendizaje
Para transmitir y emplear las ideas numéricas, necesitamos utilizar representaciones de estos conceptos. Algunas de ellas son:
El lenguaje oral o escrito: cuando decimos “ciento cuarenta y tres” o lo escribimos con texto o con símbolo 143.
Mediante objetos concretos: representar la cantidad 143 por ej con los Bloques multibase.
El dibujo de estos objetos. Representación gráfica.
Existen cuatro dominios relacionados cuando se habla del sentido numérico: numeración, magnitud del número, cálculo mental y estimación en cálculo. Los dos primeros son para el caso de los números naturales. Algunas conductas manifestadas por los alumnos nos dan la pauta de si se está desarrollando una comprensión del sentido numérico.
Sowder ha reunido una lista de conductas como posibles manifestaciones y habilidades:
Para componer y descomponer números.
Para reconocer la magnitud de los números. No solo realizar la comparación de números, sino también la comparación entre resultados de operaciones.
Para conocer la magnitud absoluta de los números.
Para utilizar puntos de referencia. Se manifiesta para el manejo de números naturales como así también en situaciones de cálculo, por asociación.
Para vincular la numeración, operaciones y relacionar los símbolos de manera significativa.
Comprender los efectos de realizar operaciones sobre los números.
Para realizar cálculos mentales mediante estrategias inventadas.
Ser capaz de usar los números de manera flexible, para realizar la estimación de respuestas.
Realizar juicios sobre la razonabilidad de las respuestas emitidas.

Al decir de Castro: conseguir desarrollar la comprensión y el uso flexible de los números naturales exige crear entornos de aprendizaje en las aulas que animen a los alumnos a ser partícipes activos de su propio aprendizaje.

Diseño, selección y evaluación de tareas y materiales curriculares
Para que nuestro trabajo en el aula sea fructífero a la hora de seleccionar, diseñar y elaborar la propuesta se deben de tener en cuenta:
el criterio curricular, ¿qué deben saber? Debemos seleccionar dentro de los objetivos propuestos en el programa, cuáles son los más importantes, cuáles servirán de base para seguir aprendiendo.
El criterio cognitivo, ¿cómo lo llegan a conocer?. Basados en pruebas diagnósticas que nos permitirán conocer a nuestros alumnos, sus debilidades y fortalezas.

Nos encontramos con lo que Castro llama las tareas base, que son saberes que giran en torno a otros conocimientos, y que permiten a los alumnos construir su aprendizaje a partir de nociones que se repiten durante todo el año escolar.

Un ejemplo de tarea base, es la siguiente:
Proporcionar a los alumnos 7 decenas y 8 unidades. Pedirles que las cuenten, a continuación darles 5 decenas más y 4 unidades, y pedirles que averigüen cuántas hay en total. La respuesta puede ser verbalmente, o escrita con símbolos y con letras.
Las características que presenta esta tarea, entre otras son:
usamos materiales concretos para representar números de dos dígitos
posibilidad de uso del 10, como unidad iterativa, para establecer cuánto hay
reagrupamiento de 10 unidades en una decena y 10 decenas en una centena
traslación de concretos a símbolos (132 y ciento treinta y dos) y a contexto oral
comunicar el proceso seguido argumentando por qué es así y el resultado obtenido podemos modificarla cambiando:
los modos de presentación utilizados (concreto + símbolo = oral; concreto - - = concreto; concreto + --= oral, etc.
El tamaño de los números ( de dos dígitos, de tres dígitos)
Las relaciones que exigen que se establezcan entre unidades de distinto orden en los numerales.
Para que la evaluación sea apropiada, debemos utilizar propuestas basadas sobre lo realizado en clase. Las mismas deben reflejar los contenidos curriculares y deben estar diseñadas de manera que permitan mostrar los procesos de resolución. En resumen, las tareas deben indicara lo que se pretende evaluar con ellas.

Ejemplo de evaluación

Tarea
Escribe el múltiplo más grande de 10 que haga que las siguientes relaciones sean verdaderas. Explica cómo lo haces. Puedes utilizar calculadora.
/........x7<440
/........x3<175
Escribe el múltiplo más pequeño de 10 que haga que las siguientes expresiones sean verdaderas. Explica cómo lo haces. Puedes utilizar calculadora.

Características de la tarea
pensar en los números como grupos de decenas
uso de puntos de referencia
reconocimiento de la magnitud de los números

¿Qué evaluamos?
Relaciones numéricas. Comparaciones, igualdad y desigualdad. Noción de ecuación numérica profundización en el sistema de numeración decimal. Valor de posición. Conocimiento y representación de los distintos órdenes de unidades.
Análisis y reflexión sobre la estructura numérica. Noción de unidad numérica.
Notación de números de varias cifras.
Establecimiento de relaciones lógicas entre números. Consolidación de las estrategias personales de cálculo y técnicas de estimación.
Puntuación
3- resuelve con éxito las cuestiones y proporciona argumentos basados en la comprensión de las relaciones entre diferentes tipos de unidades.
resuelve con éxito las cuestiones, pero no es capaz de articular una explicación coherente, aunque usa procedimientos de ensayo y error de manera sistemática que manifiestan un cierto plan previo.
1- resuelve correctamente las cuestiones pero de manera mecánica sin proporcionar explicaciones o no utilizando las relaciones entre diferentes tipos de unidades.
no completa con éxito las cuestiones o completa sólo algunas por ensayo y error.

FRACCIONES
Las fracciones permiten la comparación de dos cantidades de magnitud y expresan con mayor exactitud la medida. En el lenguaje cotidiano, las fracciones son de uso común, media manzana, medio litro de agua, medio kilo de pan, etc.
Se incluyen en el programa, para que los alumnos sean capaces de establecer relaciones entre fracción, número decimal y porcentaje. Para eso es necesario fomentar en la enseñanza estrategias de cálculo mental para lo ordenación y las operaciones con fracciones y se recomienda el uso de recursos como la representación gráfica y la calculadora.
¿Qué son las fracciones?
Llamamos número fraccionario al símbolo con el cual se expresa que una magnitud se ha dividido en cierto número de partes iguales y que se han reunido algunas de estas partes.

Significado de las fracciones
Partes de un todo.
Para eso trabajaremos con ejemplos, explicando que en todas las partes se utiliza el significado de la fracción como partes iguales. Ej. Divido algo en cuatro partes y tomo tres. Divido una barra de pan en cuatro trozos y tomo tres.
Cociente de enteros.
La fracción a/b, puede significar el cociente entre los enteros a entre b. este caso se produce cuando se trata de resolver una igualdad del tipo a=b.la respuesta más común de los alumnos para expresar las fracciones es” tres tabletas de chocolate para cuatro niños”.
Razón
La fracción tiene contenido de razón cuando lo que se simboliza con ella es la relación entre dos cantidades o conjuntos de unidades.
Operador
La fracción tiene significado de operador cuando actúa sobre una situación o estado inicial, para modificarla y para conseguir un estado final. Modificarlas, pero manteniendo su valor.
Simbolización de las fracciones
Es escribirlas de otra forma, por ejemplo como decimal o como porcentaje.
Porcentaje
En el caso de que una fracción sea decimal con numerador 100, o sea fraccionario de la forma a/100, se le llama porcentaje.

Representaciones de las fracciones
Las representaciones reproducen la manipulación real requerida para llegar a la obtención de la fracción.
Modelos
Los modelos son materiales estructurados que ofrecen una imagen isomorfa del concepto, dentro de los modelos están los modelos continuos y discretos.
En el modelo continuo están:
*el modelo lineal, aquí se consideran las fracciones en una recta numérica
*el modelo de área, se sigue el modelo lineal, pero se representa en áreas.

En el modelo discreto:
El modelo de conjuntos, acá podemos representar la fracción como parte de un todo, otra posibilidad es expresar la relación entre partes del conjunto que poseen características diferentes.
De forma muy general se pueden encuadrar todos los significados de las fracciones en dos categorías principales.
-la fracción como expresión del resultado de una medida y
-la fracción como operador

Conjunto de números racionales
La característica común que tienen un conjunto de fracciones equivalentes se denomina número racional.
Fracciones equivalentes, son equivalentes, si la cantidad que expresan es la misma.
Ejemplos ¼=2/8; ½= 2/4.
Las fracciones equivalentes que representan la misma cantidad, son equivalentes, o fracciones iguales.
Fracción irreducible
Cuando en una fracción la reducción no es posible de realizar se denomina fracción irreducible.
Fracción propia, se denomina así cuando la cantidad que representa es menor que la unidad. El numerador es menor que el denominador.
Fracción impropia, se denominan así a las fracciones donde el numerador es mayor que el denominador.
Número mixto, cualquier fracción impropia se escribe como un conjunto de número entero y fracción.
Con números racionales podemos realizar las operaciones básicas, adicción, sustracción, producto y cociente.



Bibliografía consultada:
ENRIQUE CASTRO: “Didáctica de la matemática en la Educación Primaria”
GERARD VERGNAUD: “El niño, las matemáticas y la realidad”
PROGRAMA DE EDUCACIÓN INICIAL Y PRIMARIA 2008

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